平面國 - Edwin Abbott Abbott

平面國是一本以二維與三維空間為立論概念的小說，故事的主角是個正方形，生活在一個二度空間的平面上。如果你認為，這是本在討論生硬的數學理論的科普故事，那就大錯特錯了，小說的內容不僅涵蓋了幾何數學，還有哲學的對話討論，階級社會制度的殘酷。這是一本非常值得去閱讀與討論的書，也該列入青少年必讀的書單中。

沒有高度的平面幾何

在一個平面上，是只有長度跟寬度的，即使我們用筆，在紙上畫出任何的形狀，在物理的領域中，畫出的線段，全部都有著高度，而且會因為畫筆的材質，而產生不同的效果，例如：使用炭筆，高度就會比用原子筆畫出來的高一些，還有可能會發生線段上的高度忽高忽矮的狀況。

然而在數學的領域中，平面上的幾何圖形，全部都是沒有高度的，或許更精確的說法是，這高度非常地矮，矮到非常接近 0 ，但又不等於 0 ，因為等於 0 就等同於沒有這條線了。

身處在三維空間之中，我們只知道在紙上對數學題目作答，但有沒有想過，我們隨手在紙上畫的三角形、正方形或其他形狀，把自己想像成其中一份子的時候，在這個平面上生活，會是什麼光景。

作者在書本的第一個部份，就是透過一個正方形的視角，來告訴讀者，生活在平面上會是什麼樣的感覺，看到的、聽到的、觸摸到的、聞到的，究竟會是什麼。

該怎麼想像呢？現在先讓自己在紙上畫出一個正三角形，就像是下圖最上面那個三角形，接下來把自己的眼睛從紙張的正上方慢慢地往下移，移動的時候，還是持續看著自己畫的三角形，我們會發現這三角形已經慢慢地縮小，直到眼睛跟桌面同高的時候，我們只能看到一條直線。

生活在平面上，為了要識別男女、階級，必須發展一些感官的方法。包含了視覺、聽覺、觸覺這些方式，而這都必須讓自己設身處地想像自己生活在平面上，才能得到的解決方式，藉由介紹平面國的過程，讀者也慢慢地學會換個角度去觀察事物，換成正方形這個主角的角度去觀察平面國。

由遺傳主導的階級制度

平面國的女性，天生就是直線，而且女性永遠不會改變形狀，至於男性則是從最低階的等腰三角形，往上一層是正三角形、然後是正方形、正五邊形等等，形狀並不是直接遺傳下來的，卻是間接慢慢地由正三角形經過數個世代的演化，變成四邊形，男性的形狀會隨著時間而增加邊的數量。

當邊的數量增加到非常多的時候，就會越來越接近圓形，平面國的圓形因為數量稀少，具有非常崇高的地位，就像是原住民的祭師一樣唯一的存在。

平面國國民天生就會有這樣邊數增加的過程，社會就因為這種生理的現象，自然而然地就形成階級，即使在故事的中間，曾經發生過色彩革命，爭權的結果，最後也再次因為圓形主教卑劣的手段，將叛亂份子一網打盡，全部都處死了。

當社會地位會因為世襲而繼承時，這社會就會充滿了不公平，因為每一個新生兒一出生，除了繼承了父母的面貌與體型，更繼承了父母的社會地位，而且自動往上增加一個層次。

當階級有了世襲的因素，這社會就產生了不公平，國民們也只能被動接受，對這樣的生活無可奈何，也只能慢慢地期待，自己的後代會漸漸地增加邊的數量，晉升高級知識分子的行列。

男尊女卑的社會制度

平面國的女性是直線，完完全全的直線，連形狀都沒有，根本稱不上是在平面上存在的圖形，女性天生的不同，也沒有任何進化的可能性，造就了純粹男尊女卑的社會制度。女性是不能接受教育的，單純只有育養後代的功能。

又因為直線的正面就跟所有男性的形狀，看起來完全一樣，當女性轉了90度，就會變成一個點，而尖銳的直線，是可以把其他形狀刺死的，因此這個社會就得搭配許多規定，例如女性必須隨時發出聲音，必須永遠以直線這個方向面對家人。

為了平面國社會的永續發展，女性也只好在不得已的情況下，要接受這樣的社會規範與支配。人類的性別雖然天生會有一些基本的差別，但幸好不像是平面國一樣，差異那麼大，我們的社會，絕對能接受各種性別平權的制度。

將自己的手腳伸入平面，伸入直線

球體把自己伸入到平面之中，這對他來說是非常簡單的事情，一進去之後，會一直讓正方形覺得自己就是圓形主教。而當他從二度空間，觀察線段國之後，可以再進一步進入到第 0 維空間，線段國國王的生活限制更多了，沒辦法跟自己的同胞交換位置，只能用大叫的方式跟國民溝通。

比上不足、比下有餘，正方形覺得線段國王非常愚蠢，而球體也覺得當個正方形狠愚蠢，正方形無法想像的第三維度，同時球體也無法想像的第四維度。這可不是簡單地把高度拉長就好了。

啟發正方形的球體，也無法想像什麼是四度甚至更高維度的空間

身在三維空間的球體，輕易地就能把正方形提出平面國，在 24 小時內，就讓正方形了解了第三維度，也就是高度實際存在的世界。

直線的人民，無法了解第二維度，平面國的人民無法了解第三維度，都得等到自己被拉出生活的維度之後，才恍然大悟，發現了新的維度存在的事實。

但球體也沒想到，他也會被正方形挑戰，因為正方形領悟到了，或許除了第 0、1、2、3 這些維度，還有著第四維度，這是身處於立體空間的人民無法理解的存在。甚至還有第五維度，第六維度等等。

被挑戰的球體，似乎也從來沒有想過第四維度的存在，唯一的方式，也只能嚇斥正方形，別再講那些危言聳聽的話。

這件事告訴我們，我們不會永遠正確，也永遠要放大心胸，站在真理的一方，只要是合理的推論，就會有存在的可能性。

身為多維空間的先知，只能老死在監獄中

這個問題有因果關係的先決條件，我們現在是以承認有多維空間的方式，來討論這個事情的話，那麼正方形身為多維空間的先知，只能老死在監獄中，的確是一件非常可惜的事情，這就像是我們以我們現在的知識，去探討哥白尼那個時代，哥白尼提出了地球繞著太陽旋轉這個理論，跟當時的教會對立，我們會認為哥白尼是個先知，而先知的下場是抑鬱而終。

但如果轉換到當時那個年代，一直以來接受的教育都是地球為中心的理論，再怎麼去想，也沒辦法一下子就接受哥白尼的理論。

事實上，我們所該做到的，是接受與了解所有的意見與可能性，再透過對話與討論，去釐清每一個人的論點與意見，而不是像老師打手心一樣的制約方法，在其他人提出論點時，就拿出棒子先敲一下，然後就忽略他。

一個有效的溝通循環，要從理解與對話開始，如果沒有辦法引起對話與共鳴，就只會是單方向的宣導與強迫，這種方式，是沒有辦法讓所有人有發自內心的接受某些制度與作法。

結論

這本書的內容並不算太多，雖然未來有無限的可能，未來或許也沒那麼大機會，能再看到類似題材的作品，能將數學完完全全融合到一本小說的作品。

這是非常值得去閱讀與討論的小說，建議大家去看看。