2014/12/28

平面國 - Edwin Abbott Abbott

平面國是一本以二維與三維空間為立論概念的小說,故事的主角是個正方形,生活在一個二度空間的平面上。如果你認為,這是本在討論生硬的數學理論的科普故事,那就大錯特錯了,小說的內容不僅涵蓋了幾何數學,還有哲學的對話討論,階級社會制度的殘酷。這是一本非常值得去閱讀與討論的書,也該列入青少年必讀的書單中。

沒有高度的平面幾何

在一個平面上,是只有長度跟寬度的,即使我們用筆,在紙上畫出任何的形狀,在物理的領域中,畫出的線段,全部都有著高度,而且會因為畫筆的材質,而產生不同的效果,例如:使用炭筆,高度就會比用原子筆畫出來的高一些,還有可能會發生線段上的高度忽高忽矮的狀況。

然而在數學的領域中,平面上的幾何圖形,全部都是沒有高度的,或許更精確的說法是,這高度非常地矮,矮到非常接近 0 ,但又不等於 0 ,因為等於 0 就等同於沒有這條線了。

身處在三維空間之中,我們只知道在紙上對數學題目作答,但有沒有想過,我們隨手在紙上畫的三角形、正方形或其他形狀,把自己想像成其中一份子的時候,在這個平面上生活,會是什麼光景。

作者在書本的第一個部份,就是透過一個正方形的視角,來告訴讀者,生活在平面上會是什麼樣的感覺,看到的、聽到的、觸摸到的、聞到的,究竟會是什麼。

該怎麼想像呢?現在先讓自己在紙上畫出一個正三角形,就像是下圖最上面那個三角形,接下來把自己的眼睛從紙張的正上方慢慢地往下移,移動的時候,還是持續看著自己畫的三角形,我們會發現這三角形已經慢慢地縮小,直到眼睛跟桌面同高的時候,我們只能看到一條直線。



生活在平面上,為了要識別男女、階級,必須發展一些感官的方法。包含了視覺、聽覺、觸覺這些方式,而這都必須讓自己設身處地想像自己生活在平面上,才能得到的解決方式,藉由介紹平面國的過程,讀者也慢慢地學會換個角度去觀察事物,換成正方形這個主角的角度去觀察平面國。

由遺傳主導的階級制度

平面國的女性,天生就是直線,而且女性永遠不會改變形狀,至於男性則是從最低階的等腰三角形,往上一層是正三角形、然後是正方形、正五邊形等等,形狀並不是直接遺傳下來的,卻是間接慢慢地由正三角形經過數個世代的演化,變成四邊形,男性的形狀會隨著時間而增加邊的數量。

當邊的數量增加到非常多的時候,就會越來越接近圓形,平面國的圓形因為數量稀少,具有非常崇高的地位,就像是原住民的祭師一樣唯一的存在。

平面國國民天生就會有這樣邊數增加的過程,社會就因為這種生理的現象,自然而然地就形成階級,即使在故事的中間,曾經發生過色彩革命,爭權的結果,最後也再次因為圓形主教卑劣的手段,將叛亂份子一網打盡,全部都處死了。

當社會地位會因為世襲而繼承時,這社會就會充滿了不公平,因為每一個新生兒一出生,除了繼承了父母的面貌與體型,更繼承了父母的社會地位,而且自動往上增加一個層次。

當階級有了世襲的因素,這社會就產生了不公平,國民們也只能被動接受,對這樣的生活無可奈何,也只能慢慢地期待,自己的後代會漸漸地增加邊的數量,晉升高級知識分子的行列。

男尊女卑的社會制度

平面國的女性是直線,完完全全的直線,連形狀都沒有,根本稱不上是在平面上存在的圖形,女性天生的不同,也沒有任何進化的可能性,造就了純粹男尊女卑的社會制度。女性是不能接受教育的,單純只有育養後代的功能。

又因為直線的正面就跟所有男性的形狀,看起來完全一樣,當女性轉了90度,就會變成一個點,而尖銳的直線,是可以把其他形狀刺死的,因此這個社會就得搭配許多規定,例如女性必須隨時發出聲音,必須永遠以直線這個方向面對家人。

為了平面國社會的永續發展,女性也只好在不得已的情況下,要接受這樣的社會規範與支配。人類的性別雖然天生會有一些基本的差別,但幸好不像是平面國一樣,差異那麼大,我們的社會,絕對能接受各種性別平權的制度。

將自己的手腳伸入平面,伸入直線

球體把自己伸入到平面之中,這對他來說是非常簡單的事情,一進去之後,會一直讓正方形覺得自己就是圓形主教。而當他從二度空間,觀察線段國之後,可以再進一步進入到第 0 維空間,線段國國王的生活限制更多了,沒辦法跟自己的同胞交換位置,只能用大叫的方式跟國民溝通。

比上不足、比下有餘,正方形覺得線段國王非常愚蠢,而球體也覺得當個正方形狠愚蠢,正方形無法想像的第三維度,同時球體也無法想像的第四維度。這可不是簡單地把高度拉長就好了。

啟發正方形的球體,也無法想像什麼是四度甚至更高維度的空間

身在三維空間的球體,輕易地就能把正方形提出平面國,在 24 小時內,就讓正方形了解了第三維度,也就是高度實際存在的世界。

直線的人民,無法了解第二維度,平面國的人民無法了解第三維度,都得等到自己被拉出生活的維度之後,才恍然大悟,發現了新的維度存在的事實。

但球體也沒想到,他也會被正方形挑戰,因為正方形領悟到了,或許除了第 0、1、2、3 這些維度,還有著第四維度,這是身處於立體空間的人民無法理解的存在。甚至還有第五維度,第六維度等等。

被挑戰的球體,似乎也從來沒有想過第四維度的存在,唯一的方式,也只能嚇斥正方形,別再講那些危言聳聽的話。

這件事告訴我們,我們不會永遠正確,也永遠要放大心胸,站在真理的一方,只要是合理的推論,就會有存在的可能性。

身為多維空間的先知,只能老死在監獄中

這個問題有因果關係的先決條件,我們現在是以承認有多維空間的方式,來討論這個事情的話,那麼正方形身為多維空間的先知,只能老死在監獄中,的確是一件非常可惜的事情,這就像是我們以我們現在的知識,去探討哥白尼那個時代,哥白尼提出了地球繞著太陽旋轉這個理論,跟當時的教會對立,我們會認為哥白尼是個先知,而先知的下場是抑鬱而終。

但如果轉換到當時那個年代,一直以來接受的教育都是地球為中心的理論,再怎麼去想,也沒辦法一下子就接受哥白尼的理論。

事實上,我們所該做到的,是接受與了解所有的意見與可能性,再透過對話與討論,去釐清每一個人的論點與意見,而不是像老師打手心一樣的制約方法,在其他人提出論點時,就拿出棒子先敲一下,然後就忽略他。

一個有效的溝通循環,要從理解與對話開始,如果沒有辦法引起對話與共鳴,就只會是單方向的宣導與強迫,這種方式,是沒有辦法讓所有人有發自內心的接受某些制度與作法。

結論

這本書的內容並不算太多,雖然未來有無限的可能,未來或許也沒那麼大機會,能再看到類似題材的作品,能將數學完完全全融合到一本小說的作品。

這是非常值得去閱讀與討論的小說,建議大家去看看。