2005/11/4

費瑪最後定理 Fermat's Last Theorem

這本1998年出版的書,從證明了費瑪最後定理的安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles開始談起,描述了 Fermat's Last Theorm 的歷史始末,往前回溯來看,1994年正是我在念大學的時候,當時完全沒有一位教授在課堂上提到這件事,也許他們認為,一位真正的研究者,自然而然地會被數學吸引,然而對一位不是天才的學生來說,他需要的是老師的指引,引導他走向更高深的專業認知,而指引的道路,就在科普的精神上。

從費瑪最後定理的歷史中可以發現,有許多研究成果,都是研究人員燃燒熱情,試圖提出「有趣」的命題,然後再嘗試用邏輯驗證。

費瑪最後定理:xn+yn=zn 當 n>2 時,不存在整數解

1. 1963年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普爾‧貝爾 Eric Temple Bell 的一本書吸引,「最後問題 The Last Problem」,故事從這裡開始。

2. 畢達哥拉斯 Pythagoras 定理,任一個直角三角形,斜邊的平方=另外兩邊的平方和
x2+y2=z2
畢達哥拉斯三元組:畢氏定理的整數解

3. 費瑪 Fermat 在研究丟番圖 Diophantus 的「算數」第2卷的問題8時,在頁邊寫下了註記
「不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和;或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和;或者,總的來說,不可能將一個高於2次冪,寫成兩個同樣次冪的和。」
「對這個命題我有一個十分美妙的證明,這裡空白太小,寫不下。」

4. 1670年,費瑪 Fermat的兒子出版了載有Fermat註記的「丟番圖的算數」

5. 在Fermat的其他註記中,隱含了對 n=4 的證明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時無解
萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 證明了 n=3 時無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解

3是質數,現在只要證明費瑪最後定理對於所有的質數都成立
但 歐基里德 證明「存在無窮多個質數」

6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1)的質數,證明了 費瑪最後定理 "大概" 無解

7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德 延伸熱爾曼的證明,證明了 n=5 無解

8. 1839年 加布里爾‧拉梅 Gabriel Lame 證明了 n=7 無解

9. 1847年 拉梅 與 奧古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同時宣稱已經證明了 費瑪最後定理
最後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Ernst Kummer 的信,說科西與拉梅的證明,都因為「虛數沒有唯一因子分解性質」而失敗
庫默爾證明了 費瑪最後定理的完整證明 是當時數學方法不可能實現的

10.1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Paul Wolfskehl 補救了庫默爾的證明
這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未被解決
沃爾夫斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證明的人,期限是到2007年9月13日止

11.1900年8月8日 大衛‧希爾伯特,提出數學上23個未解決的問題且相信這是迫切需要解決的重要問題

12.1931年 庫特‧哥德爾 不可判定性定理
第一不可判定性定理:如果公理集合論是相容的,那麼存在既不能證明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能達到的
第二不可判定性定理:不存在能證明公理系統是相容的構造性過程。
=> 相容性永遠不可能證明

13.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 發展了可以檢驗給定問題是不是不可判定的方法(只適用少數情形)
證明希爾伯特23個問題中,其中一個「連續統假設」問題是不可判定的,這對於費瑪最後定理來說是一大打擊

14.1940年 阿倫‧圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma編碼 的反轉機
開始有人利用暴力解決方法,要對 費瑪最後定理 的n值一個一個加以證明。

15.1988年 內奧姆‧埃爾基斯 Naom Elkies 對於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解這個推想,找到了一個反例
26824404+153656394+1879604=206156734

16.1975年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰‧科次,研究橢圓曲線
研究橢圓曲線的目的是要算出他們的整數解,這跟費瑪最後定理一樣
ex: y2=x3-2 只有一組整數解 52=33-2
(費瑪證明宇宙中指存在一個數26,他是夾在一個平方數與一個立方數中間)

由於要直接找出橢圓曲線是很困難的,為了簡化問題,數學家採用「時鐘運算」方法
在五格時鐘運算中, 4+2=1
橢圓方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解為 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4),然後可用 E5=4 來代表在五格時鐘運算中,有四個解
對於橢圓曲線,可寫出一個 E序列 E1=1, E2=4, .....

17.1954年 至村五郎 與 谷山豐 研究具有非同尋常的對稱性的 modular form 模型式
模型式的要素可從1開始標號到無窮(M1, M2, M3, ...)
每個模型式的 M序列 要素個數 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例

1955年9月 提出模型式的 M序列 可以對應到橢圓曲線的 E序列,兩個不同領域的理論突然被連接在一起

安德列‧韋依 採納這個想法,「谷山-志村猜想」

18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫,一個統一化猜想的理論,並開始尋找統一的環鏈

19.1984年 格哈德‧弗賴 Gerhard Frey 提出
(1) 假設費瑪最後定理是錯的,則 xn+yn=zn 有整數解,則可將方程式轉換為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程式
(2) 弗賴橢圓方程式太古怪了,以致於無法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 斷言每一個橢圓方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是錯誤的

反過來說
(1) 如果 谷山-志村猜想 是對的,每一個橢圓方程式都可以被模型式化
(2) 每一個橢圓方程式都可以被模型式化,則不存在弗賴橢圓方程式
(3) 如果不存在弗賴橢圓方程式,那麼xn+yn=zn 沒有整數解
(4) 費瑪最後定理是對的

20.1986年 肯‧貝里特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化

如果有人能夠證明谷山-志村猜想,就表示費瑪最後定理也是正確的

21.1986年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 開始一個小陰謀,他每隔6個月發表一篇小論文,然後自己獨力嘗試證明谷山-志村猜想,策略是利用歸納法,加上 埃瓦里斯特‧伽羅瓦 的群論,希望能將E序列以「自然次序」一一對應到M序列

22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山-志村猜想,但結果失敗

23.1989年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 已經將橢圓方程式拆解成無限多項,然後也證明了第一項必定是模型式的第一項,也嘗試利用 依娃沙娃 Iwasawa 理論,但結果失敗

24.1992年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法,對所有分類後的橢圓方程式都奏效

25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助,開始對驗證證明

26.1993年5月 「L-函數和算術」會議,安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 發表谷山-志村猜想的證明

27.1993年9月 尼克‧凱茲 Nick Katz 發現一個重大缺陷
安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居,嘗試獨力解決缺陷,他不希望在這時候公布證明,讓其他人分享完成證明的甜美果實

28.安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在接近放棄的邊緣,在彼得‧薩納克的建議下,找到理查德‧泰勒的協助

29.1994年9月19日 發現結合 依娃沙娃 Iwasawa 理論與 科利瓦金-弗萊契 方法就能夠完全解決問題

30.「谷山-志村猜想」被證明了,故得證「費瑪最後定理」